Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер | MegaDOCs

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1) Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыны, белгісіз функцияны және оның туындыларын байланыстыратын теңдікті атайды. Егер белгісіз функция тек бір ғана тәуелсіз айнымалыдан тәуелді болса, ондай теңдеуді жәй дифференциалдық теңдеу деп, ал бірнеше аргументтен тәуелді болса, ондай теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды. Теңдеуге кіретін туындылардың ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп саналады.

Жәй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі мынадай қатынаспен беріледі:

(1)

Мұндағы, -тәуелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - оның туындылары.

Әдетте, теңдеудің ең жоғарғы реттегі туындысы бойынша шешілген түрі қарастырылады. Ол былай жазылады:

(2)

Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді тәуелсіз айнымалылардың санына байланысты әртүрлі етіп жаза беруге болады. Солардың ішінен екі тәуелсіз айнымалыға байланысты түрін мына түрде жазуға болады:

(3)

Мұндағы, – тәуелсіз айнымалылар, - белгісіз функция, ал - дербес туындылар.

Егер белгісіз функциялар бірнешеу болса, онда сол функциялар санына байланысты дифференциалдық теңдеулер жүйесі қарастырылады.

Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды интегралдау деп атайды. Жәй дифференциалдық теңдеудің шешімінің жазықтықтағы графигін интегралдық қисық деп атайды. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімінің кеңістіктегі геометриялық кескінін интегралдық бет деп атайды.

Біз бұл тарауда бірінші ретті жәй дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз және осы теңдеудегі тәуелсіз айнымалыны нақты деп есептейміз. Мұндай теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі төмендегі қатынаспен жазылады:

(4)

Мұнда х-тәуелсіз айнымалы, –белгісіз функция, -туынды, ал F-берілген функция. Осы теңдеудің туынды бойынша шешілген түрі былай жазылады:

(5)

Мұндағы, -жазықтықтағы кейбір D облысында үздіксіз бірмәнді анықталған функция деп есептелінеді.

Нақты сандар осінде -аралығын қарастырайық. Бұл аралық тұйық та, ашық та, ақырлы немесе ақырсыз да болуы мүмкін. Соңғы жағдайда болуы мүмкін.

Анықтама-1. аралығында анықталған функциясы (5) теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол мынандай үш шартты қанағаттандырса:

функциясы аралығының барлық нүктесінде

дифференциалданатын болса;

;

.

Ескерту-1. Егер аралығы тұйық немесе жартылай тұйық

болса, онда шешімнің сәйкес оңжақтық немесе солжақтық туындылары бар болуы шарт.

Ескерту-2. функциясы D облысында үздіксіз болғандықтан, функциясы аралығында үздіксіз болады.

Ескерту-3. Шешімнің анықталу облысының байланысты жиын

болуы қажетті шарт.

Мысалы, функциясы теңдеуінің шешімі бола алмайды, өйткені болғанда анықталмаған. Бұл жерде D облысы бүкіл ХОУ жазықтығы бола тұрып, екінші шарт орындалмайды. Бірақ, функциясы және аралықтарында шешім болады.

Кейбір жағдайларда (5) теңдеумен қатар оның аударылған түрі де қарастырылады:

(6)

Бұл теңдеу функциясы D облысының кейбір нүктесінің жақын аймағында шексіздікке айналып жататын жағдайда қарастырылады.

Егер шексіздікке ешқандай нүктеде жақындамаса, онда (5) және (6) теңдеулердің шешімдері, яғни олардың интегралдық қисықтары бір болады. Бұдан шығатын қорытынды: (5) теңдеудегі айнымалы х және у-тің кез келгенін тәуелсіз айнымалы деп қарастыруға болады да, екіншісін соған тәуелді функция деп алуға болады.

Сондықтан көп жағдайда (5) теңдеуді оның симметриялық түрінде жазады:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (7)

Мұндағы M(x,y) және N(x,y) функцияларын кейбір D облысында анықталған және үздіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағы бір (х0,у0) нүктесінде

M(х0,у0)=N(х0,у0)=0(8)

болса, онда ол нүктені ерекше нүкте деп атайды.

(7) теңдеуді (5) және (6) түрге келтірсек:

немесе (9)

түрінде жазамыз. Ал соңғы (9) қатынасты мына түрде жазуға болады:

. (10)

Осы (10) теңдеуді де дифференциалдық теңдеудің симметриялық түрі деп атайды.

Дифференциалдық теңдеудің шешімдері әдетте кез келген тұрақты санға байланысты болады. Сондықтан да дифференциалдық теңдеудің шешімдері шексіз жиын құрайды. Мысалы, теңдеуінің шешімін түрде жазуға болады. Мұндағы, С – кез келген тұрақты сан. Осы С санын өзгерте отырып, әртүрлі параболалар жиынын аламыз.

Практикалық есептерді шешкенде теңдеудің барлық шешімдерін табу емес, белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын шешімді табу талап етіледі. Осындай есептің бір түрі Коши есебі деп аталады. Ол былай қойылады: берілген (5) теңдеудің барлық шешімдерінің арасынан тәуелсіз айнымалының берілген мәнінде берілген у0 мәнін қабылдайтын, яғни

(12)

шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Қысқаша бұл есепті былай жазады:

(13)

Мұндағы, сандарын бастапқы мәндер, ал (12) теңдікті бастапқы шарт деп атайды. Осыған байланысты Коши есебін бастапқы есеп дейді.

Коши есебіне геометриялық түсініктеме беруге болады: (5) теңдеудің барлық интегралдық қисықтарының ішінен белгілі бір нүктесі арқылы өтетінін табу керек.

Коши есебінің мақсаты берілген шартты қанағаттандыратын бір шешімді табу болғандықтан, ол есептің шешімі қай кезде бар және жалғыз болады деген сұрақтың тууы орынды. Бұл сұраққа жауап беретін теоремаларды келесі бір бөлімде келтіреміз.

Жоғарыда айтылғандай, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде кез келген тұрақты саннан тәуелді функция аламыз:

(14)

Мұндай шешімдер жиынтығын жалпы шешім деп атайды.

Анықтама-2. Айталық, облысы (5) теңдеудің Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты орындалатын облыс болсын. Өзінің аргументтерінің кейбір облысында анықталған және х бойынша үздіксіз дифференциалданатын (14) функция (5) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

D облысында (14) теңдік С саны бойынша шешілсе, яғни

(15)

тұрақты санның (15) өрнекпен анықталған кез келген мәнінде (14) функция (5) теңдеудің шешімі болса.

Бұл анықтамадан Коши есебінің кез келген бастапқы мәнді қанағаттандыратын шешімін табуға болады. Шынында да, жалпы шешім (14) өрнекке бастапқы және сандарын қойсақ, онда

теңдігін аламыз. Анықтама бойынша бұл өрнек С саны бойынша шешіледі: . Осы табылған мәнді бастапқы (14) қатынасқа қойсақ,

өрнегін аламыз. Бұл іздеген шешіміміз болады.

2) Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

3) Біртекті дифференциалдық теңдеулер

Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде, яғни бірінші дәрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды. Сызықты теңдеудің келтірілген түрін қарастырайық:

(1)

Мұнда p(x), q(x) функциялары кейбір <a,b> аралығында анықталған және үздіксіз деп есептелінеді. Егер q(x)0 болса, онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты теңдеу деп, ал q(x)=0 болса, онда біртекті сызықты теңдеу деп атайды:

(2)

Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сәйкес біртектісі деп атайды.

Біртекті (2) теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын у-ке бөліп, мынандай теңдеу аламыз:

Осы қатынасты интегралдасақ:

өрнегін аламыз. Логарифмсіз жазсақ,

(3)

түріндегі (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағдайды қарастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғандағы мәніне сәйкес келетін шешім. Сондықтан y=0 – дербес шешім. Оны нөлдік немесе тривиaл шешім деп те атайды және ол барлық уақытта бар шешім.

Біртекті (2) теңдеудің (3) жалпы шешімін Коши түрінде жазсақ, былай жазылады:

(4)

мұнда х0 -тұрақты сан, ал у0 – кез келген сан деп есептелінеді.

Біртекті теңдеу шешімдерінің екі қасиетін атап өтейік:

10. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болса, онда олардың қосындысы: уу1+у2 функциясы да сол теңдеудің шешімі болады. 20. Егер у1 функциясы (2) теңдеудің шешімі болса, онда функциясы да (С – кез келген сан) сол теңдеудің шешімі болады.

4) Бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер

Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде, яғни бірінші дәрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды. Сызықты теңдеудің келтірілген түрін қарастырайық:

(1)

Мұнда p(x), q(x) функциялары кейбір <a,b> аралығында анықталған және үздіксіз деп есептелінеді. Егер q(x)0 болса, онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты теңдеу деп, ал q(x)=0 болса, онда біртекті сызықты теңдеу деп атайды:

(2)

Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сәйкес біртектісі деп атайды.

Біртекті (2) теңдеу айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын у-ке бөліп, мынандай теңдеу аламыз:

Осы қатынасты интегралдасақ:

өрнегін аламыз. Логарифмсіз жазсақ,

(3)

түріндегі (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер y=0 жағдайды қарастырсақ, ол осы жалпы шешімнің С=0 болғандағы мәніне сәйкес келетін шешім. Сондықтан y=0 – дербес шешім. Оны нөлдік немесе тривиaл шешім деп те атайды және ол барлық уақытта бар шешім.

Біртекті (2) теңдеудің (3) жалпы шешімін Коши түрінде жазсақ, былай жазылады:

(4)

мұнда х0 -тұрақты сан, ал у0 – кез келген сан деп есептелінеді.

Біртекті теңдеу шешімдерінің екі қасиетін атап өтейік:

10. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің шешімдері болса, онда олардың қосындысы: уу1+у2 функциясы да сол теңдеудің шешімі болады.

20. Егер у1 функциясы (2) теңдеудің шешімі болса, онда функциясы да (С – кез келген сан) сол теңдеудің шешімі болады.

Енді берілген біртексіз (1) теңдеуге оралатын болсақ, оның жалпы шешімін табу үшін мынандай әдістерді қолдануға болады.

10. Тұрақты санды вариациялау әдісі (Лагранж әдісі).

Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімі – (3) түрде іздейміз, бірақ мұндағы С санын х-қа байланысты айнымалы функция деп есептейміз:

(5)

Осы функцияны (1) теңдеуге апарып қоялық:

.

Бұдан

теңдеуін аламыз. Енді осы теңдеуді интегралдасақ, онда

(6)

өрнегін аламыз. Мұнда С0 – кез келген тұрақты сан. Осы (6) өрнекті (5) қатынасқа апарып қойсақ, онда біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін аламыз:

(7)

Соңғы шешімді Коши түрінде жазсақ, онда мынандай өрнек аламыз:

(8)

мұнда х0-тұрақты сан, ал у0– кез келген сан деп есептейміз.

20. Бернулли әдісі.

Біртексіз (1)теңдеудің шешімін y=u(x)v(x) түрінде іздейміз. Сонда

(9)

Мұндағы, u(x) функциясын біртекті теңдеудің шешімі түрінде алсақ, онда (9) қатынастан

теңдеуін аламыз. Осыдан интегралдау арқылы

(10)

болатынын көреміз. Мұнда С – тұрақты сан. Табылған және функцияларының көбейтіндісі y(x) функциясын беретін болғандықтан,

,

яғни жалпы шешім (7) түрге келеміз.

30. Интегралдаушы көбейткіш әдісі (Эйлер әдісі).

Берілген біртексіз (1) теңдеудің екі жағын функциясына көбейтіп, ықшамдап жазатын болсақ, онда мынандай қатынас аламыз:

.

Осы қатынасты интегрлдасақ:

,

ал бұдан

.

Тағы да жалпы шешім – (7) түрге келдік.

Жалпы, белгілі бір теңдеудің шешімін іздегенде жоғарыда келтірілген әдістердің есептеу жолын қайталамай-ақ, дайын (7) өрнекті пайдалану керек

Енді сызықты теңдеуге келтірілетін теңдеулерді қарастырайық.

Мына түрдегі теңдеуді

(11)

Бернулли теңдеуі деп атайды. Егер n=0, не n=1 болса, онда бұл теңдеу сызықты теңдеуге айналады. Сондықтан, n0,1 - жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда

алмастыруын енгізсек, мынандай теңдеу аламыз:

(12)

Бұл сызықтық біртексіз теңдеу. Оның жалпы шешіміндегі z–тың орнына –ты қойсақ, Бернулли теңдеуінің жалпы шешімі алынады:

(13)

Бернулли теңдеуіне кей жағдайларда келтірілетін теңдеудің біреуі Рикатти теңдеуі:

(14)

Бұл теңдеу жалпы жағдайда тұйық түрде интегралданбайды, бірақ оның бір дербес шешімі белгілі болса, онда ол Бернулли теңдеуіне келтіріледі. Айталық, (14) теңдеудің белгілі бір аралықтағы шешімі болсын. Рикатти теңдеуіне алмастыруын енгізсек, онда

(15)

түріндегі Бернулли теңдеуін аламыз. Ал бұл теңдеуді өз кезегінде сызықты теңдеуге келетінін жоғарыда көрсеткенбіз.

5) Толық дифференциалды теңдеулер

Егер шексіздікке ешқандай нүктеде жақындамаса, онда (5) және (6) теңдеулердің шешімдері, яғни олардың интегралдық қисықтары бір болады. Бұдан шығатын қорытынды: (5) теңдеудегі айнымалы х және у-тің кез келгенін тәуелсіз айнымалы деп қарастыруға болады да, екіншісін соған тәуелді функция деп алуға болады.

Сондықтан көп жағдайда (5) теңдеуді оның симметриялық түрінде жазады:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (7)

Мұндағы M(x,y) және N(x,y) функцияларын кейбір D облысында анықталған және үздіксіз деп есептейміз. Егер D облысындағы бір (х0,у0) нүктесінде

M(х0,у0)=N(х0,у0)=0(8)

болса, онда ол нүктені ерекше нүкте деп атайды.

(7) теңдеуді (5) және (6) түрге келтірсек:

немесе (9)

түрінде жазамыз. Ал соңғы (9) қатынасты мына түрде жазуға болады:

. (10)

Осы (10) теңдеуді де дифференциалдық теңдеудің симметриялық түрі деп атайды.

6) Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы қарастырайық.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық

,(1)

мұндағы, функциясы жазықтықтағы кейбір тұйық облысында анықталсын. Осы теңдеу үшін бастапқы

(2)

шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын. Бұл жерде нүктесі сол облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал облысын, әдетте, төртбұрыш түрінде алады

(3)

мұндағы, және - белгілі оң сандар.

Теорема-1. Егер функциясы облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

2) аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

(4)

теңсіздігі орындалады, , онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын, аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешім бар болады.

Дәлелдеуі.

Алдымен Коши есебінің интегралдық теңдеуге пара-пар екендігін көрсетейік.

Айталық, функциясы (2) шартты қанағаттандыратын,

кесіндісінде анықталған (1) теңдеудің шешімі болсын:

Соңғы тепе-теңдікті х0-ден х-қа дейін интегралдасақ, мынандай тепе-теңдік аламыз:

Бұдан функциясының

(5)

интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз.

Енді керісінше, функциясы (5) теңдеудің шешімі болсын:

Бұдан болатынын көреміз. Егер осы тепе-теңдікті дифференциалдасақ,

тепе-теңдігін аламыз.

Бұдан шығатын қорытынды – Коши есебінің шешімін табу үшін

интегралдық теңдеудің шешімінің барлығын және жалғыздығын дәлелдесек жеткілікті.

Интегралдық теңдеудің шешімін біртіндеп жуықтау әдісімен іздейміз. Бұл әдісті Пикар әдісі деп те атайды.

Бастапқы нөлдік жуықтау ретінде ізделініп отырған функцияның алғашқы y0 мәнін аламыз да, бірінші жуықтау үшін

(6)

өрнегін жазамыз, ал екінші жуықтау үшін

(7)

өрнегін жазамыз. Жалпы, кез келген -ші жуықтауды мына түрде жазамыз:

(8)

Мұнда . Осы кесіндіні Пеано кесіндісі деп атайды.

Енді алынған {yn} тізбегінің әрбір мүшесі берілген облыстың ішінде жататынын көрсетуіміз керек. Айнымалы -ты Пеано кесіндісінде өзгереді деп, жуықтаулардың бастапқы мәннен ауытқуларын есептейік.

Алдымен,

Екінші жуықтау үшін:

Жалпы, кез келген -ші жуықтау үшін төмендегідей теңсіздік аламыз:

(9)

Бұл теңсіздіктер тізбектің барлық мүшелері D облысының кейбір кішірейген облысының ішінде

7) Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы қарастырайық.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық

,(1)

мұндағы, функциясы жазықтықтағы кейбір тұйық облысында анықталсын. Осы теңдеу үшін бастапқы

(2)

шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын. Бұл жерде нүктесі сол облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал облысын, әдетте, төртбұрыш түрінде алады

(3)

мұндағы, және - белгілі оң сандар.

Теорема-1. Егер функциясы облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

2) аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

(4)

теңсіздігі орындалады, , онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын, аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешім бар болады.Дәлелдеуі

Енді жуықтаулар тізбегінің жинақтылығын көрсетейік. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін сол тізбектен құрылған функциялық қатарды қарастырамыз:

(10)

Осы қатар бірқалыпты жинақты болса, онда тізбегі де бірқалыпты жинақты болады, өйткені,.

Қатардың әрбір мүшесін, екіншісінен бастап, Пеано кесіндісінде абсолют шамасы бойынша бағалайық:

,

Соңғы теңсіздікке Липшиц шартын пайдалансақ, онда

Осылайша,

теңсіздігі алынады. Кез келген -ші мүше үшін де индукция әдісін пайдаланып, төмендегідей теңсіздік аламыз:

Сонымен, функциялық (10) қатардың абсолют шамасынан құрылған қатар Пеано кесіндісінде төмендегідей сандық қатармен бағаланып отыр:

(11)

Бұл қатарды (10) функциялық қатардың мажоранты деп атайды.

Енді осы мажоранттық қатардың жинақтылығын көрсетейік. Даламбер белгісіне сүйенсек,

,

яғни, (11) қатар жинақты. Сондықтан, Вейерштрасс теоремасы бойынша функциялық (10) қатар Пеано кесіндісінің ішінде бірқалыпты абсолютты жинақты. Егер қатардың қосындысын деп белгілесек, онда тізбектің шегі осы болады:

(10) қатардың әрбір мүшесі кесіндінің ішінде үздіксіз функция болғандықтан және ол қатар бірқалыпты жинақты болғандықтан, Коши теоремасы бойынша осы кесіндінің ішінде функциясы да үздіксіз болады.

Тізбектің бірқалыпты жинақтылығынан шарты шығады. Липшиц шартын пайдаланып,

теңсіздігін аламыз. Бұл теңсіздік интегралдан шек алу үшін сол интеграл астындағы өрнектен шек алуға болатынын көрсетеді, яғни

Осыны пайдаланып, (8) қатынастан шек алайық:

немесе

(12) Бұл тепе-теңдіктен (x) функциясының Пеано кесіндісінде интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз. Сондықтан, ол Коши есебінің шешімін береді.

8) Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуге қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

Туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы қарастырайық.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық

,(1)

мұндағы, функциясы жазықтықтағы кейбір тұйық облысында анықталсын. Осы теңдеу үшін бастапқы

(2)

шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын. Бұл жерде нүктесі сол облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал облысын, әдетте, төртбұрыш түрінде алады

(3)

мұндағы, және - белгілі оң сандар.

Теорема-1. Егер функциясы облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

2) аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

(4)

теңсіздігі орындалады, , онда бастапқы (2) шартты қанағаттандыратын, аралығында анықталған үздіксіз дифференциалданатын жалғыз ғана шешім бар болады. Дәлелдеуі

Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дәлелдеу үшін алдымен Гронуолл леммасын келтірейік.

Лемма. Кейбір аралығында үздіксіз функциялары және тұрақты саны үшін

(13)

теңсіздігі орындалса, онда одан мынандай теңсіздік алуға болады:

(14)

Дәлелдеуі. (13) теңсіздікті оң жағындағы қосындыға бөлейік:

Екі жағында оң функциясына көбейтіп, -ден -ға дейін интеграл алайық:

Мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы екенін ескерсек, онда

Осыдан

Потенциалдап, одан соң берілген (13) теңсіздікті пайдалансақ, (14) теңсіздікке келеміз ( болғанда лемманы дәлелдеу үшін интегралдың бағытын өзгертсе, жеткілікті).

Енді осы (14) теңсіздікті пайдаланып, шешімнің жалғыздығын көрсетейік.

Айталық, (x) және ψ(x) функциялары әртүрлі екі шешім болсын:

,

Осы шешімдердің айырмасын бағалайық:

Мұнда , f(x)=L, C=0 екенін ескерсек, (14) теңсіздіктен теңдігі шығатынын көреміз, яғни (x)=ψ(x),.

Сонымен, Пеано кесіндісінде Коши есебінің тек жалғыз ғана шешімі бар екені толық дәлелденді.

9) Туындысы бойынша шешілмеген бірінші ретті теңдеулер

Туынды бойынша шешілмеген теңдеулердің жалпы түрін мынандай өрнекпен жазуға болады:

(1)

мұндағы, F – кейбір облысында анықталған үздіксіз функция.

Анықтама-1. аралығында анықталған функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер мынандай үш шарт орындалса:

1) функциясы аралығының барлық нүктесінде дифференциалданатын болса,

2)

3)

Туынды бойынша шешілген теңдеу сияқты, туынды бойынша шешілмеген теңдеу де ХОУ жазықтығында бағыттар өрісін айқындайды. Бірақ, бұл өріс жалғыз болмауы мүмкін. Себебі, (1) теңдеуді у бойынша шешкенде оның бірнеше түбірлері болуы мүмкін: . Жалпы жағдайда, (1) теңдеуді у бойынша шешу мүмкін бола бермейді. Бірақ, басқа айнымалылары бойынша шешілуі мүмкін. Мұндай жағдайда параметр енгізу әдісін қолданады.

Айталық, (1) теңдеу у бойынша шешілген делік:. Бұл жағдайда параметрін енгізу арқылы

(2)

теңдеуін аламыз. Осы қатынастан толық дифференциал алып, алмастырудағы байланысын ескерсек, онда мынандай теңдеу аламыз:

(3)

немесе

(4)

Бұл теңдеу бұрын қарастырылған теңдеулердің қатарына жатады. Егер оның жалпы интегралы белгілі болса, онда

(5)

түріндегі қатынастары (1) теңдеудің интегралдық қисығын анықтайды.

Дәл осы сияқты, (1) теңдеу бойынша шешілген болса:, онда параметрін енгізіп, толық дифференциал алатын болсақ:

(6)

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу де симметриялы түрге келтіріледі:

(7)

Егер соңғы теңдеудің шешімі белгілі болса, онда

(8)

қатынастары (1) теңдеудің жалпы шешімінің параметрлік түрін береді.

Параметр енгізу әдісінің ерекшелігін байқау үшін Лагранж теңдеуін қарастырайық:

(9)

Бұл теңдеуге () алмастыруын жасап, толық дифференциалын табайық;

.

Осыдан

немесе

(10)

түріндегі сызықтық біртексіз теңдеу аламыз. Тұрақты санды вариациялау әдісімен теңдеудің жалпы шешімін оңай жазамыз:

Соңғы қатынасқа бастапқы теңдеудің параметрлік түрін қосып жазсақ, жалпы шешімнің параметрлік түрін аламыз:

(11)

Егер болса, онда осы теңдеудің нақты шешімдерін: , бастапқы теңдеуге қойып,

(12)

түріндегі шешімдер аламыз. Бұл шешімдер ерекше шешім болуы мүмкін. Енді осы Лагранж теңдеуінің дербес түрін қарастырайық:

(13)

Бұл теңдеуді Клеро теңдеуі деп атайды.

Жоғары айтылған әдіс бойынша белгілеуін енгізейік:

(14)

Осыдан толық дифференциал тауып, қатынасын пайдалансақ, онда

теңдігін аламыз. Ал бұдан

(15)

Соңғы теңдеу екі теңдеуге бөлінеді:

және (16)

Осыдан, егер болса, онда . Мұны бастапқы теңдеуге апарып қойсақ,

(17)

түріндегі жалпы шешім аламыз.

Егер (16) теңдеудің екіншісі орын алса, онда

(18)

түріндегі Клеро теңдеуінің параметрлік ерекше шешімін аламыз.

10) Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі