Основы научных исследований | MegaDOCs

Основы научных исследований

Литература:

Ю. И. Нечаев «Основы научных исследований», Киев, Одесса, Высшая школа, 1983 г.

В. М. Сиденко, И. М. Грушко «Основы научных исследований».

«Основы научного эксперимента», Москва, Мир.

1. Основные понятия о науке и научных исследованиях.

Наука имеет несколько определений, поскольку рассматривается в разных планах.

- Наука – система знаний.

- Наука – процесс получения знаний.

В форме системы наука выступает как один из видов общественного сознания, а также в виде систематизированного представления об объективных закономерностях окружающего мира.

Наука как система является фактором общественного прогресса. Как процесс наука является формой общественного труда. Наука как процесс состоит также в производстве новых знаний об окружающем мире.

Объектом науки являются закономерности объективного мира, данные нам в виде ощущений или зарегистрированные в виде соответствующих приборов.

Наука изучает повторяющиеся явления.

Цель науки – получение знаний, с помощью которых можно предвидеть или предсказать состояние и поведение исследованных объектов.

Познание складывается из трёх последовательных актов:

Познание → 1. Наблюдение → 2.Абстрагирование → 3. Практика

Наблюдение, в свою очередь, состоит из:

а) Накопления фактов

б) Систематизации фактов

в) Обобщение и выработка простейших абстрактных выводов

На основе наблюдений благодаря абстрагированию, в ходе которого отбрасываются несущественные факты и признаки, создаются конечные научные продукты:

а) Принципы (очень общие законы).

б) Научные законы (наиболее существенные повторяющиеся объективные внутренние связи в природе, обществе, мышлении).

в) Научные теории, объединяющие собой группы связанных между собой законов.

Главную роль в научном исследовании играют методы – инструменты для открытия объективных законов. Самый общий научный метод – диалектика, рациональное применение которой возможно на основе высокой квалификации и знания всех научных методов. Научное исследование направлено на решение познавательных задач. Задачи научных исследований делятся на две большие группы:

1) Эмпирические (опытные) – решаются путём наблюдения (без вмешательства в процесс) и эксперимента (организованное воздействие на объект и регистрация реакции на воздействие).

Результат решения эмпирической задачи:

1. Точное выявление факторов-характеристик объекта.

2. В технике – эмпирическая зависимость.

y=ax1+bx2+cx3, где x – факторы; a, b, c – эмпирические коэффициенты, полученные при решении задачи.

2) Теоретические задачи. Способы решения этих задач:

а) Гипотетический – выдвигается гипотеза и подтверждается экспериментом или наблюдением.

б) Аксиоматический способ – математический. Математический способ требует разрешения математической модели. Результатом теоретического решения задачи являются математически выраженные связи между отдельными факторами изучаемого явления, закона, теории. Главной особенностью теоретического исследования является необходимость экспериментальной проверки всех теоретических результатов. Существуют задачи, которые по своему исходному содержанию являются теоретическими, но решаются экспериментально. Они носят название полуэмпирических или теоретико экспериментальных.

2. Методы научных исследований

Наиболее общим методом является логический. Он делится на два противоположных метода:

а) Дедуктивный – из общих положений выводятся частные конкретные выводы.

б) Индуктивный метод – из частных фактов и явлений выводятся общие принципы и закономерности.

Эти методы противоположны и едины. Их единство слито в гипотетическом методе.

Гипотеза – научно обоснованное положение, выдвигаемое для объяснения какого-либо явления, которое может быть истинным или ложным. Схема гипотетического метода:

Гипотетический метод основан на более частных методах анализа и синтеза.

1) Анализ расчленения явления на простейшие составные части.

2) Синтез объединения в единую систему связанных между собой явлений, обобщение понятий, вывод закона или создание теории.

Составные части анализа:

- Наблюдение: сбор фактов, выдвижение гипотез, ранжирование фактов.

- Абстрагирование: отбрасывание несущественных фактов, описание явлений на основе элементарных понятий.

- Формализации: запись в виде формул, символов.

Кроме этого, существует метод проб и ошибок (метод научного поиска). Этот метод приносит результаты, когда использующий его исследователь обладает большим опытом и научной интуицией. По масштабности последующего использования научные исследования делятся на:

а) Фундаментальные – обеспечивают дальнейшее развитие науки данной области, не приносят практических плодов в течение долгого времени.

б) Прикладные исследования – их результаты непосредственно внедряются в технику и приносят прибыль.

3. Этапы научного исследования

1) Формулирование темы исследования.

1.1) Общее знакомство с проблемой по научно-популярной и энциклопедической литературе.

1.2) Предварительный поиск и знакомство с литературой технического и научного характера, связанной с предполагаемой темой исследований.

1.3) Определение возможных направлений исследования (в направлении малоизученных, но выжных тем).

1.4) Выбор и формулирование темы исследования.

2) Выбор цели исследования и составление исследовательских задач, решение которых необходимо для достижения поставленной цели.

2.1) Сбор библиографической информации по теме и поиск литературных источников.

2.2) Составление аннотаций и рефератов по источникам.

2.3) Анализ и причина источников.

2.4) Обобщение информации путём написания аналитического реферата.

2.5) Выбор цели исследования, обоснования её актуальности, формулирование исследовательских задач, которые необходимо решить для достижения заданной цели.

3) Теоретическое исследование.

3.1) Составление физической (феноменологической) модели, отражающей суть явлений в исследовательских задачах.

3.2) Формирование рабочей гипотезы исследования. Составление допущений и упрощений.

3.3) Запись физических соотношений в математическом виде – формализация задачи. Создание математической модели.

3.4) Разрешение математической модели – производится выбор способа решения исходной модели.

3.5) Проверка и анализ полученных решений – исследование решения на границах «на абсурд». Проверка полученных решений путём их сравнения с известными решениями аналогичных задач.

4) Экспериментальные исследования.

4.1) Разработка целей и задач эксперимента.

4.2) Планирование эксперимента.

а) Математическое планирование – выбор оптимального количества экспериментов для достижения достоверного результата.

б) Организационно-техническое планирование. Разработка технологии эксперимента.

4.3) Создание экспериментальной установки. Выбор средств измерения, организация приборной базы и средств регистрации.

4.4) Проведение эксперимента, заполнение протоколов, регистрация результатов.

4.5) Анализ результатов эксперимента. Статистическая обработка результатов. Построение эмпирических моделей, корреляционно-регрессионный анализ.

5) Анализ и оформление результатов научного исследования.

5.1) Сопоставление результатов эксперимента с результатами теоретического исследования, подтверждение адекватности теоретических результатов данного эксперимента с использованием статистических методов.

5.2) Анализ несоответствий и отклонений, выдвижение гипотез о причинах отклонения.

5.3) Уточнение теоретических результатов или проведение контрольных опытов, подтверждающих или отклоняющих гипотезу.

5.4) Коррекция математической модели, получение эмпирических коэффициентов, при необходимости возврат к п. 3.1.

5.5) Составление научных выводов, практических рекомендаций.

5.6) Оформление отчёта по научной работе, диссертация.

5.7) Апробация результатов (одобрение). Вынесение результатов на суд научной общественности: доклад на конференции, статья в тематическом сборнике, размещение статьи на соответствующем сайте.

6) Внедрение результатов исследования в промышленность, технику, определение фактического и расчётного эффекта исследования.

4. Информационное обеспечение научных исследований

Любое исследование должно опираться на множество доступных сведений по выбранной теме исследования, а также смежным областям, имеющим отношение к рассматриваемой теме. Подбор библиографических сведений производится по справочной библиографической информации, которая классифицирована  по отраслям наук. Самая объёмная и подробная информация находится в сборниках ВИНИТИ. Этим институтом выпускается основной источник НТИ – реферативные журналы. В этих журналах приводятся рефераты всех выпускаемых литературных источников по всем отраслям во всём мире. В каждом реферате указано название, авторы, источник, краткое содержание и основные выводы. Кроме реферативных статей выпускаются также сборники, предметные указатели и авторские указатели. В предметных указателях за данный год приводятся номера всех рефератов, содержащих данные ключевые слова. В авторском указателе приведены фамилии авторов и номера рефератов, в которых они упоминаются. Поиск следует начинать с предметных указателей. После ознакомления с рефератами следует выделить тех авторов, которые занимаются данной темой и найти их по авторскому указателю, чтобы выяснить круг их научных интересов. После знакомства с наиболее близкими по теме рефератами следует найти источники, упомянутые в рефератах, и составить свою версию реферата с уклоном в свою тему. Самое главное в непосредственных источниках – библиографический список – литература, которую использовал автор и с какой целью. На основании источников и их библиографии составляются библиографические списки по основной и смежным темам. По отреферированным источникам составляются аналитические обзоры, отдельно теоретических и отдельно экспериментальных исследований. В обзоре должны быть отражены тенденции развития исследования, тупиковые направления, прогрессивные направления, анализ противоречий в результатах различных авторов, анализ подтверждаемости теории экспериментов (авторов-теоретиков авторами-экспериментаторами). Выбирается наиболее актуальное направление исследований, выбирается проблема, решение которой позволяет решить важную техническую или теоретическую задачу. Формируется цель исследования и исследовательские задачи, которые необходимо решить для достижения заданной цели.

5. Модели научных исследований

В первичном познании физической сущности процессов выступает наблюдение, по результатам которого выбирается ограниченное число факторов, явно оказывающих влияние на процесс. Принятые факторы и описания процесса с их использованием являются моделью данного процесса, происходящего в натуре. Модель – искусственная система, отображающая основные свойства изучаемого объекта-оригинала. С другой стороны, модель – это отображение информации об изучаемом объекте в удобной для исследования форме (математическая модель). Например, для балки на упругом основании:

Самое главное в начале исследования  - правильно построить модель, адекватную реальному процессу.

Типичная ситуация при построении модели:

1) Структура и физическая сущность модели достаточно ясна или для её выявления информации достаточно.

2) Структура и физическая сущность явления неочевидны, но имеются некоторые известные аналоги.

3) Структура не ясна, но возможно её выявление из эксперимента.

4) Структура не ясна, информации нет, эксперимент не возможен.

Различают два вида моделирования:

1) Физическое моделирование – физические процессы в объекте и модели одинаковы.

2) Математическое моделирование. Математическая модель – система соотношений, описывающая изучаемый процесс на основе физических законов. В математическом моделировании физические процессы в объекте выражены в символьной форме.

Натурные физические модели – масштабные изменяемые объекты, позволяющие наиболее полно исследовать влияние параметров объекта на его свойства. Например, масштабные серии судов, самолётов.

Главное требование модели – адекватность, то есть соответствие натуры и модели. Условиями, обеспечивающими адекватность в физическом моделировании, являются критерии подобия. Условием адекватности математической модели является её подтверждение экспериментом.

Пример создания математической модели, исходя из физических свойств: вязкий упругий материал, описываемый математической моделью, предложенной Эйлером:

t=0; S=0

В практике научных исследований существует термин «поставить задачу». Это означает создать адекватную модель с помощью гипотез, имеющих явный физический смысл. Когда исследования объекта затруднены из-за полной неясности его внутренней структуры, применяют модель «чёрный ящик».

Такую модель можно исследовать при числе факторов более двух только с помощью методов математического планирования эксперимента.

Во многих отраслях физики различают физические процессы, описывающиеся одинаковыми моделями, но разрешить эти модели трудно. Такая задача может быть решена на аналоговой модели. Например, течение невязкой несжимаемой жидкости и распределение электрического потенциала вокруг заряженных тел описывается одинаковыми уравнениями. Для решения задачи обтекания тела его помещают в диэлектрический бак с дистиллированной водой. Существует аналогия между касательными напряжениями внутри вала сложной формы толщиной мыльной плёнки, натянутой на тот же контур.

Наибольшее распространение получили так называемые численные модели, основанные на дискретном представлении объектов как совокупности конечных элементов, для которых записываются основные законы сохранения или уравнения равновесия. В конечных элементных моделях элементы объединяются в полный объект и на основе принципов минимума энергии (условие равновесия) записанная сумма элементарных соотношений приводится к системе уравнений, аргументами которой являются физические параметры отдельных точек объекта.

Во многих отраслях физики и механики созданы пакеты программ, направленные на решение всех актуальных технических задач.

6. Оценка погрешности измерений

Измерение:

1) Процесс нахождения какой-либо величины опытным путём с применением технических средств.

2) Познавательный процесс сравнения величины чего-либо с известной величиной, принятой за эталон. Измерения бывают: а) статические; б) динамические; в) прямые; г) косвенные; д) особо точные; е) технические.

Задача оценки погрешности состоит в следующем: на вход в средство измерения подаётся значение измеряемой величины (a). На выходе мы имеем это значение с некоторой погрешностью. Погрешность бывает абсолютная (±ε) и относительная (Δ=±ε/a). Таким образом, непосредственно после измерений истинное значение a остаётся неизвестным. Задача состоит в оценке погрешности ε по сравнению со значением a.

Причины погрешности и их виды

Систематические погрешности остаются постоянными при повторных измерениях.

Причины систематических погрешностей:

1) Износ или повреждение приборов.

2) Неправильная установка прибора.

3) Воздействие внешней среды.

4) Субъективная погрешность.

5) Погрешность метода или схемы измерений.

Основной способ определения такой погрешности – измерение эталона.

Средства измерения должны отдаваться в специальный надзорный орган для поверки.

Случайные погрешности:

1) Трудно учитываемое влияние многих случайных факторов.

2) Грубые промахи.

Во время проведения экспериментальных исследований всегда возникают случайные погрешности, величину которых можно оценить методом статистического анализа на основе теории вероятностей.

Рассмотрим пример: в бассейне производится прогонка модели судна.

В результате 30 опытов были получены следующие значения:

№VVV11,71,71,821,82,11,831,82,01,842,12,11,951,81,91,661,71,61,771,91,91,881,91,92,091,71,91,6101,82,01,9

Простая обработка даёт результат: Vср=1,8

Размах результатов выборки: Vmax=2,1; Vmin=1,6

Без статистической обработки получим: V=1,8±0,5/2

ΔV=(Vmax-Vmin)/2=0,5

При использовании вероятностного метода учитывается то, что вероятность выпадения очень большого или очень маленького значения очень мала. При применении статистической погрешности в начале устанавливается закон распределения случайной величины. Для оценки закона распределения строится гистограмма – графическое представление частоты результатов в опыте.

nn/301,630,11,750,171,880,271,990,32,030,12,120,06

При этом относительная частота  становится вероятностью, которая имеет вид формулы:

Основные характеристики закона:

1) Математическое ожидание:

2) Дисперсия:

3) Среднее квадратическое отклонение:

4) Среднее квадратическое отклонение среднего:

Погрешность измерений оценивается величиной доверительного интервала:

Доверительный интервал – это совокупность значений Vi, в интервал изменения которого попадает истинное значение V с заданной вероятностью Pзад. Соответственно, вероятность того, что Vi попадёт в интервал, называется доверительной вероятностью. Ширина доверительного интервала определяется по формуле: ε=±tσV, где t – гарантийный коэффициент. Вероятность попадания P в заданный интервал находится с помощью интеграла вероятности Лапласа.

Ф(1)=0,683; Ф(2)=0,955; Ф(3)=0,997.

В нашем примере , σ=0,13.

Таким образом, в интервал V=1,83±0,13 попадание составит 0,683; в интервал V=1,83±0,26 – 0,955; V=1,83±0,39 – 0,997.

Такие результаты достоверны, если число опытов превышает 50 при небольшой величине D или σ. Если n<50, то получается очень большая погрешность в определении σ и интервал случайно оказывается больше, чем есть на самом деле. Для малых выборок n=5 применяется метод Стьюдента (К. Госсег). Самое главное достоинство этого метода состоит в том, что математически доказано – ширину доверительного интервала можно определить по формуле:

tст – гарантийный коэффициент Стьюдента.

nФстдов52,77102,26202,09302,04602,0

Окончательно для скорости, определённой в опытах: V=1,83±2,04∙0,025

Без применения этой теории формула записывается: V=1,83±∙0,05; V=1,83±0,25

Оценка грубых промахов

Результат готовых измерений записывается в форме:

Грубые промахи очень сильно влияют, поэтому после проведения измерений следует выполнить поиск и устранение грубых промахов. Для быстрой оценки используют правило «трёх сигм». Последовательность действий:

1) Выбираются подозрительные значения из ряда измерений Vmin, Vmax.

2) Определяется Vср и σ.

3) Находится абсолютное отклонение.

;

4) Δ1 и Δ2 сравниваются с 3σ.

Δ1>3σ, Δ2>3σ. Если выполняется одно из этих условий, соответствующие Vmax, Vmin удаляются из ряда измерений.

5) Производится окончательное определение  и σ.

Этот метод очень груб и ненадёжен. Более точная оценка производится с помощью критерия Романовского. Этот критерий выведен на основе теории Стьюдента.

В критерии Романовского используется теорема о предельной ошибке (εпр≤tкрσ)

Если Δ>εпр, то результат выбраковывается из ряда.

n Ф=>0,950,980,9953,044,115,04102,372,963,41302,082,502,83

В нашем примере n=30; V=1,83; σ=0,13; Фдов=0,95; tкр=2,08.

Δ1=2,1-1,83=0,27; Δ2=1,83-1,6=0,23; σtк=0,27

Измерение V=2,1 – брак.

Поступая аналогичным образом, получим ряд из 25 чисел: σ=0,095; V=1,84; σ0=0,019; V=1,84±0,04.

7. Подбор эмпирических формул

Имеется табличная функция yi=f(xi)

Требуется подобрать алгебраическое выражение:

y=axn+bxn-1…+c

x=xi; y=yi

Эта задача носит общий математический характер и называется задачей аппроксимации. Аппроксимация требуется в следующих случаях:

1) Когда математическая зависимость есть, но пользоваться ей крайне трудно из-за сложной структуры формул. Например, формулы Эйлера и т. д.

2) Когда данные получены экспериментально, а математическая модель явления неизвестна, создаётся эмпирическая формула. Требования к формуле:

Если имеется экспериментальная зависимость, её можно аппроксимировать.

Для объективной оценки используют метод объективных квадратов. Его суть в том, что линия проводится так, чтобы сумма квадратичных отклонений точек от прямой была минимальной. Отклонение определяется так: , , где yi – экспериментальная точка,  - значение функции на прямой.

Таким образом, нужно подобрать такие значения a и b, чтобы

Так как , то

Условия экстремума имеют вид:

В результате дифференцирования получается система двух уравнений:

Из которых определяется:

Этот способ применим для любой сложной кривой, описываемой полиномом:

y=a1xn+a2xn-1+a3xn-2…

Однако для практических инженерных приложений, как правило, используют простые линейные зависимости, к которым можно приводить зависимости нелинейные путём линеаризации. Линеаризация состоит в замене переменных в аппроксимирующей функции (линейная). Очень большую роль играет выбор аппроксимирующей функции. Рекомендации: если функция имеет вид y=axb.

lny=a+b∙lnx

Y=lny; X=lnx; Y=a+bX

Таким образом, для построения этой зависимости надо прологарифмировать значения xi и yi

y=a∙lbx

lny=a+bx; Y=a+bx

y=a+b/x; y=a+bX; X=1/x

Многие графики разных по структуре функций имеют одинаковый вид. Методом наименьших квадратов нельзя определить, какая из аппроксимирующих функций наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные значения. Эти вопросы могут быть решены методами регрессионно-корелляционного анализа.

Случайные величины, измеряемые в опытах, или же полученные в результате обработки данных наблюдений (данные по различным судам) могут быть:

а) Независимыми.

б) Связанными статистической зависимостью.

Статистическая зависимость отличается от функциональной тем, что в ней изменение одной величины влияет на параметры распределения другой величины.

Если в результате изменения одной величины изменяется математическое ожидание (среднее Vср) другой величины, такая статистическая зависимость называется корелляционной, то есть, если между x и y существует корелляционная связь, то при изменении .

Таким образом, между двумя случайными величинами существует корелляционная зависимость, если каждое значение одной из них соответствует множеству значений другой, но её среднее значение зависит от первой величины, например, рост и вес человека.

Существует два частных предельных случая корелляции:

а) Полное отсутствие; б) Однозначная функциональная зависимость (y=f(x)).

Корелляция бывает парная, множественная, а также линейная. Далее мы будем рассматривать только парную линейную корелляцию.

Главная задача корелляционного анализа: определить степень близости статистической зависимости к функциональной. Субъективную оценку можно сделать на основе визуального анализа.

В научных исследованиях такая оценка неприемлема. Корелляционный анализ даёт возможность количественной объективной оценки.

Коэффициент корелляции – это число, указывающее на степень близости статистической зависимости к функциональной (rxy). Значения rx связаны с качественной оценкой. В предельном случае rxy=1 – функциональная связь; rxy=0 – отсутствие связи; rxy=1 – обратная функциональная связь. Рассмотрим графическое изображение статистической зависимости.

Место нахождения и мера отклонения отдельных точек от центра поля корелляции служит произведением . Это произведение меняет свой знак в зависимости от расположения точек в квадранте. Если точки расположены симметрично и равномерно относительно центра, то:

Непосредственно оценка корелляции с помощью такой суммы невозможна, поскольку она не нормирована и имеет размерность, поэтому для получения значения -1<rxy<1 эта сумма нормируется.

Значение rxy и качественные оценки:

rxy=0,3 – слабая корелляция; 0,3<rxy<0,5 – умеренная корелляция; 0,51<rxy≤0,8 – заметная корелляция;  rxy>0,8 – высокая корелляция.

Близость коэффициента корелляции к 0 не всегда означает отсутствие корелляции, поскольку связь может быть нелинейной.

Оценка надёжности коэффициента корелляции

Коэффициент корелляции рассчитывается по ограниченному количеству точек, поэтому его значение может случайно принять либо очень высокое, либо очень маленькое значение, близкое к нулю, поэтому после вычисления коэффициента корелляции всегда делается оценка его надёжности. Критерий оценки – «гипотеза rxy=0». Эта оценка также основана на теории Стьюдена, в соответствии с которой вычисляется число:

Kα0,10,050,0130,80,870,9550,660,750,8780,540,630,76100,490,570,70

Это число сравнивают с табличным значением в зависимости от k=n-2 и α=1-Pдов.

Если Tkαвыч>Tkαтабл, то делается вывод, что вычисленный коэффициент корелляции надёжен и с вероятностью Pдов отличен от нуля – «нулевая гипотеза не подтверждается». Существует несколько методов оценки надёжности коэффициента корелляции:

1) Приведённый метод пригоден для небольшого количества экспериментальных точек, если их распределение заведомо подчинено нормальному закону.

8. Регрессионный анализ

Задача РА: восстановление формы корелляционной связи и оценка вероятной погрешности в форме полосы доверительных значений.

Если для случайного числа используется понятие доверительного интервала, то для регрессионной зависимости используется понятие полосы доверительных значений.

Далее рассматривается линейная парная регрессия. Она выражается уравнением прямой:

где axy – коэффициент линейной регрессии.

; ;

Уравнение регрессии может быть записано в виде:

Это эквивалентно уравнению прямой: y=a+bx

Таким образом, мы получаем формулу, аналогичную формуле в методе наименьших квадратов. Разница заключается в том, что a и b рассматриваются здесь как случайные величины. Кроме этого, этот метод даёт более адекватные результаты при малом n. 10<n<50. При n>50 результаты по МНК и уравнению регрессии практически совпадают.

9. Оценка доверительного интервала уравнения регрессии.

Так как величины xi и yi, на основе которых выводится уравнение регрессии, являются величинами случайными, уравнение регрессии должно быть записано в форме: y=f(x)±Δ, где Δ – полуширина доверительного интервала. Δ=f(x), так как при каждом фиксированном x будет своё значение σy. Простейшая оценка полуширины доверительного интервала уравнения регрессии определяется с помощью гарантийного коэффициента Стьюдента.

Δ=±tстσxy; σxy – среднеквадратическое отклонение значений y относительно прямой регрессии.

Этот способ является простейшим и не учитывает изменения ширины доверительного интервала вдоль линии регрессии.

В уравнении регрессии y=a+bx a и b являются величинами случайными и могут быть записаны:

;

где ca и cb – дисперсии коэффициентов a и b.

В этом случае влияние доверительных интервалов будет разным.

Если изменяется ±tстca:

Если изменяется ±tстcb:

В итоге мы получаем:

Таким образом, уравнение регрессии представляет собой не линию, а полосу, в которой с заданной доверительной вероятностью Pдов находится истинное положение линии y=a+bx.

Кроме этого, при построении доверительного интервала возникает вопрос о том, насколько достоверны значения коэффициентов a и b – значимость коэффициентов уравнения регрессии, то есть, величины a и b, полученные случайным образом, могут иметь низкую достоверность и их конкретная величина статистически не значима. Значимость коэффициентов оценивается с помощью гарантийных коэффициентов Стьюдента, аналогичным образом, который был показан выше при очистке ряда измерений, то есть, вычисляется расчётное значение коэффициента Стьюдента отдельно для a и b и сравнивается с табличным значением. Если tстрасч>tсттабл, то соответствующий коэффициент не значим, и, соответственно, не значим другой.

10. Проверка адекватности теоретических зависимостей экспериментом

Если теоретические и экспериментальные зависимости описываются линейными уравнениями y=f(x), то проверка адекватности теоретических результатов производится следующим образом:

1) Проводится эксперимент, по результатам которого строится уравнение регрессии с соответствующим интервалом доверительных значений.

2) Производится численный расчёт функций y=f(x) по теоретической зависимости и наносится на график. Если теоретическая линия лежит внутри полосы доверительных значений, то делается вывод, что результаты эксперимента подтверждают достоверность теории, теоретическая линия является адекватной. Это справедливо при условии, что a и b значимы, rxy≠0 с доверительной вероятностью Pдов.

В том случае, когда теоретическая зависимость описывается функцией нескольких переменных y=f(x1; x2; x3;…), регрессия является множественной и нелинейной, например:

y=a0+b1x1+b2x2+b3x3…+bnx1x2+bn+1x1x3…

В этом случае доверительной является не полоса, а некоторая четырёхмерная область, которая не представляется графически. В этом случае задача формально решается с помощью теории Стьюдента, которую для множественной регрессии переработал Фишер. Критерий Фишера: при многомерной нелинейное регрессии необходимо прежде всего доказать воспроизводимость результатов опытов. Для этого выполняется m серий опытов по n опытов в каждой серии.

Опыты будут считаться воспроизводимыми, если результаты в каждой сериипринадлежат к одной и той же статистической зависимости. Последовательность проверки воспроизводимости по критерию Кохрена:

1) Проводим несколько серий опытов (m>4) по несколько (n>5) опытов в каждой серии.

2) Для каждой серии определяем дисперсию Di.

3) Определяем расчётный критерий Кохрена:

4) По таблице находим теоретическое значение критерия Gтеор. Если Gр>Gтеор, опыты не воспроизводимы.

Если опыты воспроизводимы, то проводится проверка адекватности теоретического результата данным опытом.

После проведения опытов рассчитывается критерий Фишера:

где Da – дисперсия адекватности, своя для каждой серии опытов.

;

b – число коэффициентов в уравнении регрессии.

D – средняя дисперсия по числу серий.

Полученное значение KФ сравнивается с теоретическим значением. Если KФ<KФтеор, то уравнение регрессии адекватно теоретической зависимости.

11. Основные принципы рационального планирования эксперимента

Эксперименты в судостроении отличаются затратами средств, поэтому без предварительного планирования можно получить лишний материал и не получить необходимого, поэтому, прежде чем приступать к эксперименту, надо разработать проект. Самый общий проект называется методология.

Для многих видов эксперимента методология разработана и изложена в руководящих документах, учебниках, инструкциях. Например, проведение буксировочных испытаний в бассейне, измерение индикаторной мощности механизмов, испытание прочности узлов конструкции и т. п. Методология содержит и определяет следующие составные части:

1) План программы эксперимента.

2) Разработка проекта и создание экспериментальной установки.

3) Математическое планирование эксперимента.

4) Проведение экспериментов.

5) Обработка и анализ результатов.

При использовании современных средств регистрации и обработки пункты 4 и 5 выполняются одновременно.

Разработка плана программы эксперимента

Включает в себя:

1) Рабочую гипотезу с выбором основных и второстепенных факторов.

2) Цель эксперимента.

3) Выбор варьируемых факторов.

4) Проект (технология) проведения эксперимента.

Если эксперименты проводятся с объектами, для которых разработаны методологии, то в начале производятся настроечные опыты для оценки характера явлений и выработки рабочей гипотезы.

С помощью методов математического планирования и предварительных опытов определяется минимально необходимое количество измерений, которое должно обеспечивать устойчивое среднее значение измеряемой величины.

План-программа проведения эксперимента

По своей сути этот документ является подробной технологией выполнения экспериментальных работ. Составляется в виде таблицы.

Укрупнённые операцииДетализацияКол. исп.Средства обеспеченияВремя8. Зачистка ледового бассейна8.1 Подключение шланга для слива воды2Шланг0,2 ч8.2 Промывка сливной трубы от льда1-0,5 ч8.3 Слив воды1-5 ч8.4 Отрубка и уборка льда5Лом, ледорубы, лопаты2 ч

Разработка формы протокола

Протокол опыта – таблица, в которой приведены все необходимые данные для возможности повторения данного опыта, а также полученные результаты. Каждый протокол должен содержать фамилии и подписи участников эксперимента.

12. Основы математического планирования эксперимента. Варианты экспериментального исследования.

I y=5l-2x

Для проверки адекватности этой зависимости количество опытов минимально. Оно является статистическими ошибками при измерении y и задании x. Минимальное количество – три опыта.

II y=al-6x

Теоретически получена зависимость, где a и b – неизвестные эмпирические коэффициенты. При малом разбросе результатов измерения достаточно шести опытов (три на каждый коэффициент).

III Теоретической зависимости нет, а результат задаётся нелинейной формы.

y=a+b1x1+b2x2+b3x1x2…+bnx12

В этом случае для определения неизвестных коэффициентов необходимо проводить большое количество опытов, если не применяются методы математического планирования.

Принципы математического планирования экспериментов

Этот метод определяет условия оптимального проведения эксперимента даже при неполном знании физической сути явления. Существует два вида планов:

I Классический y=f(x1; x2; x3; x4)

При этом для выявления полной формы функции необходимо проведение пяти экспериментов по каждому фактору x. При четырёх факторах в этом плане требуется 625 экспериментов.

II Полнофакторный эксперимент, в котором в самом благоприятном случае 25 опытов. Метод полного факторного эксперимента заключается в следующем: функция отклика раскладывается в ряд Тейлора.

y=β0+β1x1-…βixi+βnxn+…βiixixj+βijxixj+…+ε

Это выражение эквивалентно уравнению регрессии, в котором коэффициенты могут быть определены методом наименьших квадратов:

y=a0+a1x1+…aiixii…+aixi2

Из-за трудностей анализа получаемых результатов многие прикладные методы и программы используют зависимость не выше квадратичной. Например, для двух факторов:

y=a0+a1x1+a2x+a3x1x2+...+a4x12+a5x22 (*)

Для нахождения коэффициента aj (j=0, 1…k) по методу наименьших квадратов требуется k+1 опытов.

Уравнение (*) считается справедливым в некоторой области Ω, называемой областью планирования эксперимента. x1, x2, …, xnЄΩ называется планом эксперимента, который может быть записан в виде матрицы.

Количество строк в матрице n выбирается из возможности проведения проверок на значимость, адекватность, воспроизводимость m≥k+1.

Значения x и y в начале являются конкретными факторами в опыте. Для удобства составления матрицы планирования значения факторов xik нормируют так, чтобы -1<xik<+1. Нормирование производится по формуле:

Уравнение регрессии является функцией отклика. Это уравнение некоторой поверхности. Для правильного планирования эксперимента необходимо заранее знать поверхность функции отклика.

Для каждого из видов в справочниках можно найти математическое выражение, которое и можно принять в качестве формы уравнения регрессии. В простейшем случае, если функция отклика представляет собой плоскость, уравнение регрессии имеет вид:

y=a0+a1x1+a2x2

Для того, чтобы определить коэффициенты уравнения регрессии, нужно провести k+1 опыт, рационально выбрать значения факторов  и  (чёрточка – нормированные значения) на границе области планирования. Количество значений фактора в плане называется уровнем варьирования. В данном случае два уровня (+1; -1)

Этот план в форме матрицы выглядит следующим образом:

№ опытаx1x2y1112-1-131-14-11

Общий принцип построения планов для линейного полинома носит название «План », где n – число факторов. Общее число опытов Nопытов=2n

y=a0-a1x1+a2x2+a3x3

Если плоскость записывается в пятимерном пространстве, число опытов для определения коэффициентов составит 8.

№ опытаx1x2x3y11-1-121-11311-141115-1-1-16-1-117-11-18-111

Матрица планирования обладает следующими свойствами:

1) ; 2) ; 3) , если l≠k

Где i, l, k – номера факторов.

Коэффициенты линейного уравнения регрессии определяются очень простым способом.

;

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться незначимыми. Коэффициент регрессии значим и им нельзя пренебрегать, если |a|>Da·tст, где tст – гарантийный коэффициент Стьюдента, Da – дисперсия коэффициента a.

Кроме этого, необходимо доказать: являются воспроизводимыми с помощью критерия Фишера.

13. Метод дробных реплик

Во многих сложных физических процессах число фактором может достигать количества 5-7, опытов – 25-49. Кроме этого, каждое значение факторов для проверки и установления статистической устойчивости может потребовать от 3 до 7 опытов. Число опытов для планов типа 2n можно уменьшить почти в 2 раза, используя половину матрицы. Геометрически это объяснимо тем, что, например, план-куб будет полностью определён, если зафиксировать его диагональную плоскость.

В этом случае основу матрицы планирования составляет план двухфакторного эксперимента:

Варьирование третьего фактора соответствует произведению .

Такой способ при выполнении следующего условия.

В уравнении регрессии a0=x0. В этом случае получим следующую матрицу планирования:

№ опыта1+1+1+1+1y12+1+1-1-1y23+1-1+1-1y34+1-1-1+1y4

y=a0+a1x1+a2x2+a12x1x2

x1x2=x3

Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формуле:

Существует возможность применения планов эксперимента, когда некоторые факторы приравнивают к произведению нескольких выбранных факторов.

y=a0+a1x1+a2x2+ a3x3+ a4x4+ a5x5+ a6x6+ a7x7

При планировании со смешиванием применяют планы типа 2n-p, где n – число факторов, p – число факторов, заменяемых произведениями. Например, план 27-4: ; ; ;

Таким образом, можно значительно уменьшить количество опытов, однако применение этого способа сопряжено с рядом условий, одно из которых состоит в том, что вид поверхности отклика точно является плоскостью в n-мерном пространстве.

14. Метод центрального композитного планирования

Этот метод применим в том случае, если функция отклика описывается поверхностью второго порядка. Например, такой:

y=a0+a1x1+a1x2+a12x1x2+a11x12+a22x22

В этом случае план линейного полинома дополняется опытами в промежутках (звёздных).

Количество опытов определяется так: m=2n+2n+1

Графический план выглядит так:

Матрица планирования дополняется по сравнению с линейной моделью.

№yПолиофактический эксперимент для линейной модели1+1-1-12+1+1+13+1-1-14+1+1+1Центральная звёздная точка500060+107-10080+19-10010

Для планов ЦКП существуют простые формулы для определения коэффициентов уравнения регрессии. Для каждого из видов ЦКП существуют специальные таблицы, а сами ЦКП входят в состав всех математических пакетов (раздел «Статика», подраздел «Планирование эксперимента»). В этом программном обеспечении производятся оценки дисперсии коэффициентов, проверяется их значимость и адекватность уравнению регрессии по критерию Фишера. Более подробны сведения о планировании эксперимента находятся в книгах:

Михайлов В. И., Федосов К. М. «Планирование эксперимента в судостроении», Л, Судостроение, 1978 – 159 с.

Шенк Х. «Теория инженерного эксперимента» - М, Мир, 1972 – 381 стр.

15. Рандомизация планов экспериментов

Для того, чтобы неучтённые внешние условия и их изменения в процессе проведения экспериментов накладывались на результаты опытов равномерно, последовательность опытов чередуют случайным образом – рандомизация. Для этого используют таблицу случайных чисел с равномерным распределением. Последовательность действий:

№№1+1-1+11643+1+1+12-1-1+1211153+1+1+141614-1+1+1621865+1-1-1112186-1-1-1182027+1+1-1313178-1+1-120624

Рандомизация имеет большое значение для серий опытов при проверке воспроизводимости и адекватности. Особенно важна рандомизация в однофакторном эксперименте, когда велика вероятность ошибки, которая называется «ожидание результата». Тем не менее, во многих физических процессах конечный результат зависит от предыстории процесса и рандомизация не позволит учесть это обстоятельство. Поэтому исследованию всякого мало изученного процесса должны предшествовать предварительные опыты для выявления качественной картины происходящего явления.

16. Применение ЭВМ в научных исследованиях

Существует много путей и направлений такого применения. Один из самых первых – применение ЭВМ для решения задач численными методами. Численный метод, в отличие от аналитического, предполагает доведение решения задачи до решения системы уравнений, поиска экстремума в поле генерируемых данных. Второе направление использования ЭВМ – регистрация и обработка экспериментальных данных. Для этого применяется АЦП. Третье направление – использование пакетов для расчёта параметров деформации, перемещения, энергетических характеристик сплошных и дискретных объектов. Эти пакеты основаны на использовании метода конечных элементов. При использовании таких пакетов исследуемый объект разбивается на ряд небольших конечных элементов, внутри которых изменения параметров происходят по линейным законам. Используя условия равновесия, непрерывности, сохранения энергии, составляются уравнения, связывающие состояние элемента с координатами или кинематическими параметрами в узлах. После этого с помощью основных физических принципов (минимума потенциальной энергии, равенства кинетической и потенциальной энергий и др.) полученные уравнения с бесконечным числом неизвестных приводятся к уравнениям, в которых число уравнения равно числу неизвестных. После решения системы этих уравнений получают значения параметров объекта в узловых точках конечных элементов. Для большинства инженерных задач такие пакеты разработаны и используются в проектных и исследовательских работах.

Главная задача исследователя состоит в правильном выборе размеров и формы конечных элементов объекта и правильной обработки полученных результатов. Несмотря на автоматизированность выполнения основных операций по решению задачи исследователь должен понимать суть используемого метода в его предельной возможности и ограничениях. По своей сути численные методы решения сложных задач с объектами, разбиваемыми на конечные элементы, представляют собой вычислительный эксперимент, для которого, как для теоретического метода, требуется проверка адекватности. Такая проверка может быть осуществлена путём сравнения полученных результатов с экспериментальными данными или данными, полученными аналитическим методом (так называемыми точными решениями).

Проблемы применения численных методов

1) Сходимость. Когда сплошная расчётная область рассматривается как совокупность элементов конечной длины, возникает погрешность, обусловленная несовпадением реальной картины деформирования сплошной среды и её конечной элементной моделью.

Например, «точная» математическая модель даёт точное теоретическое решение для пластинки на упругом основании, когда основные законы её деформирования выражены через бесконечно малые размеры элементов. При составлении численной модели бесконечно малые элементы заменяются конечными с потерей точности. (б) Чем мельче будет разбиение расчётной области на конечные элементы, тем ближе численное решение к точному теоретическому. Поэтому при использовании любого численного метода необходима оценка погрешности этого метода. Кроме этого, может возникать ситуация, когда численная модель принципиально не соответствует физической модели. Для того, чтобы оценить эту погрешность, необходимо с помощью данного численного метода выполнить следующее:

1. Найти известное теоретическое решение из класса подобных задач и показать, что численное решение обладает сходимостью к «точному» теоретическому.

2. Альтернатива. Следует провести эксперимент с объектом данного класса и сравнить экспериментальные значения с численными.

2) Устойчивость численного решения. При измельчении расчётной области в начале, как правило, результат приближается к точному.

Однако существует предел измельчения элементов, начиная с которого результат расчёта отклоняется от точного и начинает расходиться всё больше. Как правило, это связано с конечностью представления чисел процесса. В большинстве пакетов используется точность 16 чисел Мантисса (после запятой).

Поэтому на аналогичной простейшей модели, где имеется точное решение, должна производиться также проверка устойчивости. На основании этих двух проверок обосновывается применение численного метода.

17. Основные математические пакеты для решения теоретических и численных исследовательских задач.

В настоящее время среди практиков-исследователей наиболее распространены следующие математические пакеты:

- Maple – этот пакет ориентирован на выполнение математических преобразований, получение решений алгебраических уравнений высокого порядка, решение дифференциальных уравнений, вычисление интегралов как аналитически, так и численно. Этот пакет используют, как правило, специалисты в области теоретических исследований.

- MathCAD – «записная книжка инженера» - обладает логической простотой при выполнении последовательных вычислений с возможностью упрощения, приведения подобных, интегрирования и дифференцирования выражений. Практически отсутствует возможность создания программ вычислений.

- MathLab – предназначен для симуляционного моделирования физических процессов. Близок к MathCAD по способу вычислений, обладает более высоким уровнем графики, чем у MathCAD, имеет большую сложность, требует глубокого изучения, однако программирование проще.

- Derive – MathCAD для школьников.

- Matematica