Метод перемещений | MegaDOCs

Метод перемещений

2.3 Метод перемещений.

При использовании метода перемещений в заданную систему для построения основной системы вводятся дополнительные угловые и линейные связи, которые компенсируются соответствующими пока неизвестными угловыми и линейными перемещениями. Далее составляются уравнения, из которых определяются неизвестные угловые и линейные перемещения. Затем по установленным угловым и линейным перемещениям определяются соответствующее им распределение внутренних сил. Принимая перемещения за неизвестные, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на деформацию стержней, учитывая лишь деформацию изгиба.

В стержневых системах (рамах) углы поворота и линейные перемещения концов стержней, жестко соединенных в узле, равны между собой. Поэтому за неизвестные при расчете статически неопределимых систем методом перемещений принимаются углы поворота жестких узлов и линейные перемещения узлов стержневой системы.

Кинематический анализ.

При кинематическом анализе статически неопределимой стержневой системы устанавливается общее число n неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы, подлежащих определению. Общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы n, определяет степень кинематической неопределимости стержневой системы. Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна:

n = nу + nл ,

где nу – число неизвестных углов поворота жестких узлов, nл – число неизвестных линейных перемещений узлов.

За жесткий узел принимаются:

  •  сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира;
  •  сопряжения двух или нескольких стержней, в которых расположен присоединенный шарнир.

В число жестких узлов не входят узлы с известными по условию задания перемещениями – жесткие закрепления и узлы с заданными перемещениями.

На рис. 10 изображены заданная схема плоской рамы (рис. 10, а) и схема для определения числа жестких узлов (рис. 10, б). Таких узлов в плоской раме шесть (на рис. 10, б жесткие узлы обозначены затененными квадратиками), т. е. nу = 6. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего 3 (nл =3).

Рис. 10. Схема плоской рамы: а заданная схема; б схема для определения числа жестких узлов

Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна:

n = nу + nл = 6 + 3 = 9.

Построение основной системы.

При расчете статически неопределимой плоской рамы методом перемещений рассматриваемая стержневая система, которую будем называть заданной, представляется в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок. Достигается это введением дополнительных угловых и линейных связей на соответствующие неизвестные угловые перемещения «жестких» узлов и неизвестные линейные перемещения узлов. Получаемая в результате этого стержневая система называется основной системой метода перемещений.

На рис. 11, а приведена заданная стержневая система – статически неопределимая плоская рама. Рама имеет всего один жесткий узел (nу = 1). Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что равны между собой линейные перемещения узлов 1 и 2, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов всего 1 (nл =1).

Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна:

n = nу + nл = 1 + 1 = 2.

а заданная система; б схема для определения числа жестких узлов; в основная система

Рис. 11. Расчетные схемы плоской рамы:

На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис. 11, в), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. На линейное перемещение узлов 1 и 2 наложим связь типа шарнирно-подвижной опоры и зададим этой опоре неизвестное пока линейное перемещение z2. В результате мы получим основную систему (рис. 11, в). Неизвестные перемещения z1 и z2 должны быть такими, чтобы в основной системе моменты и силы во введенных связях были равны нулю:

R1 = 0, R2 = 0,

где R1, R2 – реакции введенных связей (для схемы на рис. 11 R1– реакция связи в виде момента, R2– реакция связи в виде силы).

Основная система представляет совокупность однопролетной статически неопределимой балки 0-1 с опорами типа «жесткая заделка», однопролетной статически неопределимой балки 1-2 с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-неподвижной опорой, однопролетной статически неопределимой балки 3-2 с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-подвижной опорой.

Достоинством метода перемещений является то, что при представлении основной системы в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок для каждой из этих балок можно воспользоваться имеющимися табличными данными для определения опорных реакций и построенными уже эпюрами изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.

Канонические уравнения метода перемещений

При расчете статически неопределимой плоской рамы основная система отличается от заданной наличием дополнительных связей в узлах, препятствующих их угловым и линейным перемещениям, и появлением опорных реакций в виде моментов и сил во введенных связях.

Эти реакции можно обратить в нуль, если заделки в узлах повернуть на углы, равные действительным поворотам узлов, и дать линейные перемещения линейным связям, равным действительным линейным перемещениям узлов.

Тогда для каждого узла, к которому приложены те или иные связи, можно записать равенство нулю реакций связи в виде

где R1, R2, …, Rn – реакции во введенных дополнительных связях.

Число таких уравнений соответствует степени кинематической неопределимости заданной стержневой системы, т. е. числу введенных связей или числу неизвестных перемещений введенных связей. Пользуясь принципом независимости действия различных воздействий, можем записать

Запишем систему канонических уравнений вида

Приведенная система канонических уравнений должна быть разрешена относительно неизвестных перемещений z1, z2, z3 , . . ., zn . Но для решения этой системы уравнений необходимы данные о реакциях в связях от единичных перемещений (коэффициентах rik ) и реакциях в связях, вызванных действием нагрузки (свободных членов Rip канонических уравнений).

Определение коэффициентов rik и свободных членов Rip канонических уравнений.

Вначале из заданной стержневой системы строится основная система. Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от неизвестных единичных перемещений (по направлениям введенных закреплений) и от действующей на стержневую систему нагрузки.

Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневых участков заданной системы.

Если нагружение происходит в плоскости у − х, то в поперечных сечениях стержневых участков заданной статически неопределимой плоской рамы определяются продольные силы N , поперечные силы Qу и изгибающие моменты Mz .